Darstellungen von GL₂(𝔽q)

Die invertierbaren $2\times2$ -Matrizen über einem endlichen Körper bilden eine Familie endlicher Gruppen mit erstaunlich reichhaltiger Darstellungstheorie. Schon ihre Wirkung auf $q+1$ Punkten liefert eine wichtige irreduzible Darstellung.

Im Folgenden ist $q$ eine Primzahlpotenz und $G=\mathrm{GL}_2(\mathbb F_q)$ . Unsere Darstellungen sind über $\mathbb C$ . Die Matrixeinträge der Gruppe liegen dagegen in $\mathbb F_q$ .

01 / Geometrischer Ausgangspunkt

Eine Gerade mit $q+1$ Punkten

Die projektive Gerade besteht aus den eindimensionalen Unterräumen von $\mathbb F_q^2$ . Wir schreiben einen solchen Punkt in homogenen Koordinaten als $[x:y]$ . Dabei ist $(x,y)\ne(0,0)$ und

[x:y]=[\lambda x:\lambda y]\qquad(\lambda\in\mathbb F_q^\times).

Definition · Projektive Gerade

\mathbb P^1(\mathbb F_q)=\{[t:1]\mid t\in\mathbb F_q\}\cup\{[1:0]\}.

Die Punkte $[t:1]$ identifizieren wir mit $t$ , den zusätzlichen Punkt $[1:0]$ mit $\infty$ . Eine invertierbare Matrix wirkt durch

\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\cdot[x:y]=[ax+by:cx+dy].

In der affinen Koordinate ist das die gebrochen-lineare Transformation $t\mapsto(at+b)/(ct+d)$ . Verschwindet der Nenner, ist das Bild der Punkt im Unendlichen.

Matrizen werden zu PermutationenZum Ausprobieren

g =2001über 𝔽₅

Fixpunkte · χπ(g)2

Steinberg · χSt(g)1

Zwei verschiedene Eigenwerte in 𝔽₅ ergeben zwei Eigenlinien: 0 und ∞ sind fix.

Der Charakter zählt Fixpunkte. Die Pfeile zeigen die tatsächliche Wirkung auf 𝔽q ∪ {∞}. Grüne, durchgezogene Pfeile bleiben am selben Punkt. Für die Steinberg-Darstellung wird vom Fixpunktwert genau 1 abgezogen. Hier werden die Primkörper mit 3, 5 oder 7 Elementen verwendet.

Satz · Transitivität

Die Gruppe $G$ wirkt transitiv auf der projektiven Geraden. Sie wirkt sogar transitiv auf den geordneten Paaren verschiedener Punkte.

Warum die Wirkung zweifach transitiv ist

Zwei verschiedene projektive Punkte entsprechen zwei verschiedenen Geraden durch den Ursprung. Wählt man auf ihnen jeweils einen nicht verschwindenden Vektor, bilden diese eine Basis von $\mathbb F_q^2$ . Eine invertierbare lineare Abbildung kann jede solche Basis auf jede andere schicken. Damit lassen sich beliebige geordnete Paare verschiedener projektiver Punkte ineinander überführen.

Einordnung: SL₂, PGL₂ und PSL₂

Die Untergruppe $\mathrm{SL}_2(\mathbb F_q)$ besteht aus den Matrizen mit Determinante eins. Skalare Matrizen wirken trivial auf der projektiven Geraden; der Kern der Wirkung ist genau das Zentrum $Z(G)=\{aI\mid a\in\mathbb F_q^\times\}$ . Daher wirkt

\mathrm{PGL}_2(\mathbb F_q)=\mathrm{GL}_2(\mathbb F_q)/Z(G)

treu durch projektive lineare Transformationen. Gemeint ist hier nicht die volle Permutationsgruppe der endlichen Punktmenge. Entsprechend ist

\mathrm{PSL}_2(\mathbb F_q)=\mathrm{SL}_2(\mathbb F_q)/\{aI\mid a^2=1\}.

Für $q>3$ ist diese Gruppe einfach. Die Bedingung betrifft die Körpergröße $q$ . Ein Beweis findet sich bei Keith Conrad.

02 / Struktur der Gruppe

Borelgruppe und zwei Tori

Der Stabilisator des Punktes $\infty=[1:0]$ ist die Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. Sie heißt Borelgruppe:

B=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}\;\middle|\;a,d\in\mathbb F_q^\times,\ b\in\mathbb F_q\right\}.

In ihr liegen die unipotente Untergruppe $N$ und die diagonale Untergruppe $D$ :

N=\left\{\begin{pmatrix}1&u\\0&1\end{pmatrix}\;\middle|\;u\in\mathbb F_q\right\},\qquad D=\left\{\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}\;\middle|\;a,d\in\mathbb F_q^\times\right\}.

Es gilt $N\triangleleft B$ und $B=N\rtimes D$ . Der gespaltene Torus $D\cong\mathbb F_q^\times\times\mathbb F_q^\times$ erhält die beiden Koordinatenachsen.

Bahnsatz · Die Gruppenordnung

|B|=q(q-1)^2,\quad [G:B]=q+1,\quad |G|=q(q-1)^2(q+1).

Zwei Wege, die Gruppenordnung zu zählen

In $B$ gibt es für beide Diagonaleinträge jeweils $q-1$ Möglichkeiten und für den oberen rechten Eintrag $q$ . Da $B$ der Stabilisator eines Punktes einer transitiven Wirkung auf $q+1$ Punkten ist, folgt die Formel aus dem Bahn-Stabilisator-Satz.

Alternativ zählt man die Spalten: Für die erste Spalte gibt es $q^2-1$ nicht verschwindende Vektoren; die zweite darf nicht in deren eindimensionalem Spann liegen. Damit bleiben $q^2-q$ Möglichkeiten. Also ist $|G|=(q^2-1)(q^2-q)$ .

Der nicht gespaltene Torus

Die Körpererweiterung $\mathbb F_{q^2}/\mathbb F_q$ ist zweidimensional. Multiplikation mit einem Element $\zeta\in\mathbb F_{q^2}^\times$ ist eine invertierbare $\mathbb F_q$ -lineare Abbildung. Nach Basiswahl erhalten wir so eine Untergruppe

K\cong\mathbb F_{q^2}^\times\subset G,\qquad |K|=q^2-1.

Sie ist zyklisch. Für ungerades $q$ wird die Einbettung besonders anschaulich: Wähle ein Nichtquadrat $\varepsilon\in\mathbb F_q^\times$ . Dann ist $\mathbb F_{q^2}=\mathbb F_q(\sqrt\varepsilon)$ , und bezüglich der Basis $(1,\sqrt\varepsilon)$ gilt

\zeta=x+y\sqrt\varepsilon\quad\longmapsto\quad d_\zeta=\begin{pmatrix}x&\varepsilon y\\y&x\end{pmatrix}.

Hier ist $(x,y)\ne(0,0)$ . Die Determinante ist die Körpernorm:

\det(d_\zeta)=\mathrm N_{\mathbb F_{q^2}/\mathbb F_q}(\zeta)=\zeta^{q+1}=x^2-\varepsilon y^2.

Für gerades $q$ bleibt die Konstruktion durch Multiplikationsabbildungen gültig; statt eines Nichtquadrats verwendet man eine Basis zu einem irreduziblen quadratischen Polynom.

03 / Eigenwerte ordnen die Matrizen

Vier Typen von Konjugationsklassen

Zwei Matrizen sind in $G$ konjugiert, wenn sie dieselbe lineare Abbildung in unterschiedlichen Basen beschreiben. Ihre Eigenwerte und ihre Jordanstruktur führen zu genau vier Typen.

Repräsentanten, Klassengrößen und Anzahl der Klassen
Typ / Repräsentant	Größe einer Klasse	Anzahl der Klassen
Skalar $a_x=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}$	$1$	$q-1$
Jordanblock $b_x=\begin{pmatrix}x&1\\0&x\end{pmatrix}$	$q^2-1$	$q-1$
Zwei Eigenwerte $c_{x,y}=\begin{pmatrix}x&0\\0&y\end{pmatrix}$	$q(q+1)$	$\frac{(q-1)(q-2)}2$
Irreduzibles Polynom $d_\zeta\quad(\zeta\notin\mathbb F_q)$	$q(q-1)$	$\frac{q(q-1)}2$

Dabei sind $x,y\in\mathbb F_q^\times$ , im dritten Typ mit $x\ne y$ . Die Paare $(x,y)$ und $(y,x)$ beschreiben dieselbe Klasse. Beim vierten Typ ist $\zeta\in\mathbb F_{q^2}\setminus\mathbb F_q$ ; hier werden $\zeta$ und sein Frobeniuskonjugiertes $\zeta^q$ identifiziert.

Klassengrößen aus den Zentralisatoren

Für die Konjugationswirkung ist der Stabilisator von $g$ sein Zentralisator $C_G(g)$ . Daher gilt

|\operatorname{Cl}(g)|=\frac{|G|}{|C_G(g)|}.

Skalare Matrizen kommutieren mit ganz $G$ . Der Zentralisator eines nichttrivialen Jordanblocks besteht aus den invertierbaren Matrizen $\left(\begin{smallmatrix}a&b\\0&a\end{smallmatrix}\right)$ und hat Ordnung $q(q-1)$ . Bei zwei verschiedenen Eigenwerten ist der Zentralisator der diagonale Torus mit Ordnung $(q-1)^2$ . Beim irreduziblen Typ ist er der nicht gespaltene Torus mit Ordnung $q^2-1$ . Division durch diese Ordnungen ergibt die Tabelle.

Die Anzahlen folgen aus der Wahl der Eigenwerte: ungeordnete Paare verschiedener Elemente von $\mathbb F_q^\times$ im gespaltenen Fall und Frobeniuspaare aus den $q^2-q$ Elementen außerhalb von $\mathbb F_q$ im nicht gespaltenen Fall.

Die Gesamtzahl der Klassen

(q-1)+(q-1)+\frac{(q-1)(q-2)}2+\frac{q(q-1)}2=q^2-1.

Damit hat $\mathrm{GL}_2(\mathbb F_q)$ genau $q^2-1$ irreduzible komplexe Darstellungen bis auf Isomorphie.

Auch die Zahl der Gruppenelemente stimmt: Multipliziert man in jeder Zeile Klassengröße und Klassenanzahl und addiert die vier Ergebnisse, erhält man $q(q-1)^2(q+1)$ .

04 / Aus Fixpunkten wird ein Charakter

Die Steinberg-Darstellung

Zur Wirkung auf der projektiven Geraden gehört die Permutationsdarstellung

V_\pi=\mathbb C[\mathbb P^1(\mathbb F_q)],\qquad g\cdot e_p=e_{g p}.

Sie hat eine Basis mit $q+1$ Elementen. Ihre Matrizen sind Permutationsmatrizen, daher zählt ihre Spur die fixierten Basiselemente. Ein projektiver Punkt ist genau dann fixiert, wenn seine Gerade eine Eigenlinie der Matrix ist.

Fixpunkte und Charakterwerte
Charakter	$a_x$	$b_x$	$c_{x,y}$	$d_\zeta$
$\chi_\pi$	$q+1$	$1$	$2$	$0$
$\chi_{\mathrm{St}}$	$q$	$0$	$1$	$-1$

Der Vektor $\sum_p e_p$ ist invariant. Sein eindimensionaler Spann trägt die triviale Darstellung. Als invariantes Komplement wählen wir den Unterraum mit Koeffizientensumme null:

\mathrm{St}=\left\{\sum_p a_p e_p\;\middle|\;\sum_p a_p=0\right\},\qquad V_\pi=\mathbf1\oplus\mathrm{St}.

Satz · Steinberg

Die Darstellung $\mathrm{St}$ ist irreduzibel und hat Dimension $q$ . Ihr Charakter ist $\chi_{\mathrm{St}}=\chi_\pi-1$ .

Irreduzibilität durch zweifache Transitivität

Das Charakterskalarprodukt der Permutationsdarstellung mit sich selbst zählt die Bahnen auf geordneten Punktpaaren. Es gibt genau zwei: die Diagonale und die Paare verschiedener Punkte. Also ist $\langle\chi_\pi,\chi_\pi\rangle=2$ . Wegen Transitivität kommt der triviale Charakter genau einmal vor. Daraus folgt

\langle\chi_{\mathrm{St}},\chi_{\mathrm{St}}\rangle=2-2\cdot1+1=1.

Ein komplexer Charakter mit Normquadrat eins ist irreduzibel. Die Dimension ergibt sich aus $\dim\mathrm{St}=(q+1)-1=q$ .

05 / Neue Darstellungen durch Twisten

Determinantencharaktere und Twists

Jeder multiplikative Charakter $\alpha:\mathbb F_q^\times\to\mathbb C^\times$ liefert eine eindimensionale Darstellung:

U_\alpha(g)=\alpha(\det g).

Da $\mathbb F_q^\times$ zyklisch von Ordnung $q-1$ ist, gibt es genau $q-1$ solche Charaktere. Für einen fest gewählten Generator $r$ lauten sie

\alpha_k(r^m)=\exp\!\left(\frac{2\pi i\,km}{q-1}\right),\qquad 0\leq k\leq q-2.

Warum diese Darstellungen irreduzibel und verschieden sind

Ein eindimensionaler Vektorraum hat keinen echten, nichttrivialen Unterraum; jede eindimensionale Darstellung ist daher irreduzibel. Verschiedene Charaktere $\alpha$ bleiben nach Komposition mit der Determinante verschieden, weil $\det:G\to\mathbb F_q^\times$ surjektiv ist. Bei eindimensionalen Darstellungen bedeutet Isomorphie Gleichheit der Charaktere.

Die Steinberg-Darstellung verdrehen

Das Tensorprodukt mit $U_\alpha$ heißt ein Twist. Wir setzen

V_\alpha=U_\alpha\otimes\mathrm{St},\qquad \chi_{V_\alpha}(g)=\alpha(\det g)\,\chi_{\mathrm{St}}(g).

Jeder Twist ist wieder irreduzibel und hat Dimension $q$ . Insgesamt erhalten wir $q-1$ verschiedene Steinberg-Twists, einschließlich $V_1=\mathrm{St}$ .

Die ersten beiden Familien; $\mathrm N\zeta=\zeta^{q+1}$
Darstellung	$a_x$	$b_x$	$c_{x,y}$	$d_\zeta$
$\mathbf1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\mathrm{St}$	$q$	$0$	$1$	$-1$
$U_\alpha$	$\alpha(x)^2$	$\alpha(x)^2$	$\alpha(xy)$	$\alpha(\mathrm N\zeta)$
$V_\alpha$	$q\alpha(x)^2$	$0$	$\alpha(xy)$	$-\alpha(\mathrm N\zeta)$

Irreduzibilität und Unterscheidbarkeit der Twists

Multipliziert man jede Darstellungsmatrix mit einem nicht verschwindenden Skalar, ändern sich ihre invarianten Unterräume nicht. Alternativ benutzt man $|\alpha(\det g)|=1$ im Charakterskalarprodukt:

\langle\chi_{V_\alpha},\chi_{V_\alpha}\rangle=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|\chi_{\mathrm{St}}(g)|^2=1.

Verschiedene Twists lassen sich für $q>2$ an $\operatorname{diag}(t,1)$ mit $t\ne1$ unterscheiden: Dort ist der Charakterwert genau $\alpha(t)$ . Für $q=2$ gibt es nur einen solchen Twist.

Unser Zwischenstand lautet somit $2(q-1)$ irreduzible Darstellungen. Die triviale Darstellung ist bereits unter den $U_\alpha$ enthalten und wird nicht noch einmal gezählt.

06 / Von einer Untergruppe zur ganzen Gruppe

Induktion aus der Borelgruppe

Induktion macht aus einer Darstellung einer Untergruppe $H$ eine Darstellung von $G$ . Für $\rho:H\to\mathrm{GL}(W)$ ist ein konkretes Modell der Vektorraum

\operatorname{Ind}_H^G W=\{f:G\to W\mid f(gh)=\rho(h)^{-1}f(g)\text{ für }g\in G,h\in H\}.

Die Gruppe wirkt durch $(k\cdot f)(g)=f(k^{-1}g)$ . Die Funktionen sind durch je einen Wert auf jeder Linksnebenklasse $gH$ bestimmt. Deshalb gilt

\dim\operatorname{Ind}_H^G W=[G:H]\dim W.

Ein Charakter der Borelgruppe

Zwei multiplikative Charaktere $\alpha,\beta$ von $\mathbb F_q^\times$ definieren

\theta_{\alpha,\beta}\!\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}=\alpha(a)\beta(d).

Der obere rechte Eintrag spielt dabei keine Rolle; auf $N$ ist dieser Charakter trivial. Die zugehörige induzierte Darstellung

I_{\alpha,\beta}=\operatorname{Ind}_B^G\theta_{\alpha,\beta}

hat Dimension $q+1$ . Diese Darstellungen bilden die Hauptserie.

Charakterwerte als gewichtete Fixpunktsumme

In der induzierten Darstellung trägt jede Nebenklasse einen eigenen Vektorraum. Zur Spur tragen nur diejenigen Nebenklassen bei, die von $g$ auf sich selbst abgebildet werden:

Charakterformel der Induktion

\chi_{\operatorname{Ind}_H^G W}(g)=\sum_{\substack{sH\in G/H\\gsH=sH}}\chi_W(s^{-1}gs).

Für $H=B$ entsprechen die Nebenklassen den Punkten der projektiven Geraden. Nun zählen die Eigenlinien mit Gewichten aus $\alpha$ und $\beta$ .

Der Charakter von $I_{\alpha,\beta}$
Klassentyp	Charakterwert
$a_x$	$(q+1)\alpha(x)\beta(x)$
$b_x$	$\alpha(x)\beta(x)$
$c_{x,y}$	$\alpha(x)\beta(y)+\alpha(y)\beta(x)$
$d_\zeta$	$0$

Die vier Werte aus den Eigenlinien ablesen

Eine Skalarmatrix fixiert alle $q+1$ Geraden und liefert auf jeder das Gewicht $\alpha(x)\beta(x)$ . Ein Jordanblock besitzt genau eine Eigenlinie und liefert daher nur einen solchen Beitrag.

Bei zwei verschiedenen Eigenwerten gibt es zwei Eigenlinien. Auf der ersten wirkt die Matrix mit $x$ und auf dem Quotienten mit $y$ ; für die andere sind die Rollen vertauscht. So entsteht die Summe $\alpha(x)\beta(y)+\alpha(y)\beta(x)$ . Beim irreduziblen quadratischen Polynom existiert keine Eigenlinie über $\mathbb F_q$ , also ist die Spur null.

Die allgemeine Formel über Konjugationsklassen

Sei $\mathcal C$ eine Konjugationsklasse in $G$ , und zerfalle $\mathcal C\cap H$ in die $H$ -Konjugationsklassen $\mathcal D_1,\ldots,\mathcal D_r$ . Dann gilt

\chi_{\operatorname{Ind}_H^G W}(\mathcal C)=\frac{|G|}{|H|}\sum_{i=1}^r\frac{|\mathcal D_i|}{|\mathcal C|}\chi_W(\mathcal D_i).

Dies folgt aus der äquivalenten Formel $\frac1{|H|}\sum_{s\in G,\,s^{-1}gs\in H}\chi_W(s^{-1}gs)$ . Jedes Element von $\mathcal C\cap H$ wird von genau $|C_G(g)|=|G|/|\mathcal C|$ Konjugatoren getroffen. Der Schnitt mit $H$ ist im Allgemeinen eine ganze Menge von Elementen und darf nicht mit einem einzelnen Repräsentanten verwechselt werden.

Ergänzung · Wann ist die Hauptserie irreduzibel?

Für $\alpha\ne\beta$ ist $I_{\alpha,\beta}$ irreduzibel. Das Vertauschen von $\alpha$ und $\beta$ ändert ihre Isomorphieklasse nicht. Für gleiche Charaktere zerfällt sie:

I_{\alpha,\alpha}\cong U_\alpha\oplus V_\alpha.

Beweisskizze mit den zwei Bruhat-Zellen

Es gibt genau zwei Doppelnebenklassen $B\backslash G/B$ , vertreten durch die Einheitsmatrix und die Vertauschungsmatrix. Frobenius-Reziprozität und die Mackey-Zerlegung ergeben daraus

\langle\chi_{I_{\alpha,\beta}},\chi_{I_{\gamma,\delta}}\rangle=\delta_{\alpha,\gamma}\delta_{\beta,\delta}+\delta_{\alpha,\delta}\delta_{\beta,\gamma}.

Die Kronecker-Symbole zeigen: Für verschiedene Charaktere ist das Normquadrat eins, und genau das ungeordnete Paar bestimmt die Darstellung. Bei gleichen Charakteren ist $\theta_{\alpha,\alpha}=U_\alpha|_B$ . Induktion und Twisten liefern $I_{\alpha,\alpha}\cong U_\alpha\otimes(\mathbf1\oplus\mathrm{St})$ . Die strukturellen Werkzeuge werden ausführlicher in Paul Garretts Darstellung behandelt.

07 / Ergänzender Überblick

Vier Familien ergeben das vollständige Bild

Die Originalnotizen führen bis zu den Charakterwerten der Borel-induzierten Darstellungen. Zur Einordnung ergänzen wir den Überblick über alle irreduziblen komplexen Darstellungen:

Die vier Darstellungsfamilien
Familie	Dimension	Anzahl
Determinantencharaktere $U_\alpha$	1	$q-1$
Steinberg-Twists $V_\alpha$	$q$	$q-1$
Hauptserie, $\alpha\ne\beta$	$q+1$	$\frac{(q-1)(q-2)}2$
Kuspidale Darstellungen	$q-1$	$\frac{q(q-1)}2$

Die kuspidale Familie wird durch Charaktere $\vartheta:\mathbb F_{q^2}^\times\to\mathbb C^\times$ mit $\vartheta\ne\vartheta^q$ parametrisiert, wobei $\vartheta^q(\zeta)=\vartheta(\zeta^q)$ und die beiden Frobeniuskonjugierten dieselbe Darstellung liefern. Ihre Konstruktion geht über diese Notizen hinaus; eine Herleitung gibt Omkaar Kulkarni, Kapitel 8.

Die Dimensionen gehen auf

4 · 1² + 4 · 5² + 6 · 6² + 10 · 4² = 480

Determinantencharaktere4 Darstellungen · Dimension 1

Steinberg-Twists4 Darstellungen · Dimension 5

100

Hauptserie6 Darstellungen · Dimension 6

216

Kuspidale Darstellungen10 Darstellungen · Dimension 4

160

24 irreduzible Darstellungen · Gruppenordnung 480

Jede Darstellung zählt mit ihrem Dimensionsquadrat. Die Balkenanteile zeigen für jede Familie den Beitrag Anzahl × Dimension² zur Gruppenordnung. Die Übersicht schließt die kuspidale Familie ein, die hier ergänzend zu den Vortragsnotizen genannt wird.

Die Anzahlen summieren sich zu $q^2-1$ , passend zur Zahl der Konjugationsklassen. Außerdem erfüllt die Liste die Dimensionsformel der regulären Darstellung:

\sum_{\rho\in\operatorname{Irr}(G)}(\dim\rho)^2=|G|.

Diese Zahlen sind eine Kontrolle der Klassifikation. Allein das Aufgehen der Summen konstruiert die kuspidalen Darstellungen noch nicht; dafür wird der zusätzliche Existenzsatz benötigt.

Der Zusammenhang

Eigenlinien bestimmen Fixpunkte. Fixpunkte bestimmen Charaktere.

Die Geometrie der projektiven Geraden liefert die Steinberg-Darstellung. Determinantencharaktere erzeugen ihre Twists, und die Induktion aus der Borelgruppe führt zur Hauptserie.

\mathbb P^1(\mathbb F_q)\cong G/B,\qquad \mathbb C[G/B]\cong\mathbf1\oplus\mathrm{St}.

Zum Nachschlagen

Begriffe der Charaktertheorie

Darstellungen und Charaktere

Eine komplexe Darstellung ist ein Gruppenhomomorphismus $\rho:G\to\mathrm{GL}(V)$ für einen komplexen Vektorraum $V$ . Ihr Charakter ist $\chi_\rho(g)=\operatorname{tr}(\rho(g))$ . Er ist auf Konjugationsklassen konstant, und $\chi_\rho(e)=\dim V$ . Direkte Summen addieren Charaktere, Tensorprodukte multiplizieren sie.

Maschke und das Charakterskalarprodukt

Nach dem Satz von Maschke zerfällt jede endlichdimensionale komplexe Darstellung einer endlichen Gruppe in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen. Für Klassenfunktionen verwendet man

\langle\chi,\psi\rangle=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}\chi(g)\overline{\psi(g)}.

Ist $\psi$ irreduzibel, zählt dieses Skalarprodukt ihre Vielfachheit in der Darstellung mit Charakter $\chi$ . Für einen nicht verschwindenden Darstellungscharakter gilt daher: Er ist genau dann irreduzibel, wenn sein Normquadrat eins ist.

Bahn, Stabilisator und Zentralisator

Die Bahn eines Punktes $x$ ist $G\cdot x=\{gx:g\in G\}$ , sein Stabilisator $G_x=\{g\in G:gx=x\}$ . Der Bahn-Stabilisator-Satz lautet $|G\cdot x|=|G|/|G_x|$ . Bei der Konjugationswirkung sind die Bahnen die Konjugationsklassen und die Stabilisatoren die Zentralisatoren $C_G(x)=\{g\in G:gx=xg\}$ .

Eine Gerade mit q+1q+1q+1 Punkten