Tori sind
elliptische Kurven

Auf dem abgeschlossenen Fundamentalparallelogramm ist eine holomorphe Funktion stetig und deshalb beschränkt. Die Periodizität überträgt diese Schranke auf die gesamte Ebene. Nach dem Satz von Liouville ist die Funktion konstant.

Beim Randintegral von $f$ heben sich gegenüberliegende Seiten durch die Periodizität auf. Der Residuensatz liefert die erste Aussage. Wendet man sie auf die elliptische Funktion $f'/f$ an, folgt die zweite, denn

Für die dritte Aussage integrieren wir $z\,f'(z)/f(z)$ über den Rand der Kachel mit Eckpunkt $a$. Nach Verschiebung gegenüberliegender Seiten bleibt

Die beiden Integrale, durch $2\pi i$ geteilt, sind ganze Zahlen: Wegen $f(a+\omega_j)=f(a)$ sind die Bildwege unter $f$ geschlossen, und die Integrale zählen ihre Windungen um die Null. Die Summe ist also ein Gittervektor.

Eine nicht verschwindende Konstante hat Divisor null. Umgekehrt ist eine elliptische Funktion mit Divisor null ohne Pole und damit konstant. So ist der Kern von $\operatorname{div}$ genau $\mathbb C^\times$.

Die zuvor bewiesenen Identitäten zeigen, dass jeder Hauptdivisor Grad null und Punktsumme null besitzt. Für die Umkehrung benötigen wir ein zusätzliches Resultat:

Wie in den Vortragsnotizen verwenden wir dieses Lemma ohne Beweis. Es liefert die Exaktheit an der Divisorgruppe. Schließlich ist $\operatorname{sum}$ surjektiv, denn $\operatorname{sum}((p)-(0))=p$.

Die Zahl der Gitterpunkte im Kreisring $N\leq|\omega|<N+1$ ist $O(N)$. Deshalb konvergiert $\sum_{\omega\ne0}|\omega|^{-s}$ für $s>2$. Auf kompakten Mengen ist der summierte Ausdruck in der Definition von $\wp$ für große $|\omega|$ gleich $O(|\omega|^{-3})$; das liefert lokale gleichmäßige und absolute Konvergenz.

Die Symmetrie des Gitters unter $\omega\mapsto-\omega$ zeigt die Geradheit. Die absolut konvergente Reihe für $\wp'$ ist durch Umindizieren periodisch. Also ist $\wp(z+\omega_j)-\wp(z)$ konstant. Einsetzen von $z=-\omega_j/2$ und die Geradheit zeigen, dass diese Konstante null ist. Damit sind beide Basisvektoren Perioden.

Wir zerlegen eine Funktion in ihren geraden und ungeraden Anteil:

Ist $f$ ungerade, ist $f/\wp'$ gerade und meromorph. Es reicht also, gerade Funktionen als rationale Funktionen von $\wp$ darzustellen.

Für eine gerade Funktion treten Nullstellen und Pole bei $a$ und $-a$ mit gleicher Ordnung auf. Ist $2a\in\Lambda$, ist die Laurententwicklung um $a$ gerade; ihre Ordnung ist deshalb gerade. Zu diesen Punktepaaren passen die Faktoren

Ein geeignetes endliches Produkt ganzzahliger Potenzen dieser Faktoren hat denselben Divisor wie $f$ außerhalb der Null. Weil beide Divisoren Grad null haben, stimmen sie auch dort überein. Der Quotient ist holomorph elliptisch und damit konstant.

Für $|z|<|\omega|$ gilt

Setzt man dies in die Gittersumme ein, verschwinden die ungeraden Potenzen von $z$ paarweise durch die Beiträge von $\omega$ und $-\omega$. Die geraden Terme ergeben die angegebene Entwicklung.

Die Entwicklung beginnt mit

Setzt man sie und ihre Ableitung in $h=\wp'^2-4\wp^3+60G_4\wp+140G_6$ ein, verschwinden alle Hauptteile, und es bleibt $h(z)=O(z^2)$. Die elliptische Funktion $h$ hat also keine Pole und ist konstant. Ihr Grenzwert bei null zeigt $h=0$.

Die Funktion $\wp-e_j$ besitzt auf dem Torus genau einen doppelten Pol, also insgesamt zwei Nullstellen mit Vielfachheiten. An der zugehörigen Halbperiode hat sie wegen $\wp'=0$ bereits eine mindestens doppelte Nullstelle. Dort ist damit ihre gesamte Nullstellenordnung ausgeschöpft. Eine andere Halbperiode kann nicht denselben $\wp$-Wert haben.

Surjektivität. Für jedes $x\in\mathbb C$ hat $\wp-x$ einen doppelten Pol und somit zwei Nullstellen mit Vielfachheiten. Für ein solches $z$ gilt nach der Differentialgleichung $\wp'(z)=\pm y$. Falls nötig, ersetzt man $z$ durch $-z$: Der $\wp$-Wert bleibt gleich, das Vorzeichen von $\wp'$ wechselt.

Injektivität. Die Funktion $\wp-\wp(z)$ besitzt genau die Nullstellen $z$ und $-z$ modulo dem Gitter, an einer Halbperiode zusammenfallend. Außerhalb der Halbperioden unterscheidet $\wp'$ diese beiden Punkte durch das Vorzeichen. Denn ihre einzigen Nullstellen sind die drei Halbperioden: Sie hat einen dreifachen Pol und damit insgesamt drei Nullstellen.

Fortsetzung bei null. Aus $\wp(z)\sim z^{-2}$ und $\wp'(z)\sim-2z^{-3}$ folgt

Die multiplizierten Koordinaten sind holomorph bei null und verschwinden nicht gleichzeitig. So entsteht eine bijektive holomorphe Abbildung kompakter Riemannscher Flächen, also ein Biholomorphismus. Die Verträglichkeit mit der Addition sehen wir im nächsten Abschnitt.

Sei $y=mx+b$ eine nicht vertikale Gerade mit drei verschiedenen Schnittpunkten. Ihre Gleichung wird auf dem Torus zu

Diese Funktion hat einen dreifachen Pol bei null. Bezeichnen $z_P,z_Q,z_R$ die Urbilder der Schnittpunkte, dann ist

Die gewichtete Punktsumme eines Hauptdivisors ist null. Daher gilt $z_P+z_Q+z_R\equiv0\pmod\Lambda$. Wegen der Geradheit von $\wp$ und der Ungeradheit von $\wp'$ entspricht $-z_R$ genau dem gespiegelten Punkt $-R$. Also ist $\varphi([z_P+z_Q])=-R=P+Q$.

Verdoppelung. Lässt man $Q$ gegen $P$ laufen, wird die Sekante zur Tangente. Für $y_1\ne0$ gilt

Gegenpunkte. Für $Q=-P$ ist die Gerade vertikal und $P+Q=O$. Auf dem Torus entspricht dies $z+(-z)\equiv0$. Insbesondere verdoppeln sich die drei Punkte mit $y=0$ zum neutralen Element.

Der Punkt im Unendlichen. Er entspricht der Nullklasse. Die Identität $P+O=P$ ist daher die Periodizität auf der Seite des Torus. Die übrigen Tangentialfälle folgen auch durch Grenzübergang aus der Sekantenkonstruktion.